Définition

Définition de la continuité (topologie) :

• \((E,\tau_1),(E,\tau_2)\) sont des espaces topologiques
• \(a\in E\)
• $$\forall V\in\mathcal V(f(a)),\exists U\in\mathcal V(a),f(U)\subset V$$
• OU (équivalent) $$\forall V\in\mathcal V(f(a)),\qquad f^{-1}(V)\in\mathcal V(a)$$

$$\Huge\iff$$

• on dit que \(f:E\to F\) est continue en \(a\)

Définition :
On dit que \(f\) est continue en \(A\subset E\) si et seulement si elle est continue en tout point de \(A\)

Propriétés

Lien avec les bases de voisinages

Lien entre continuité et base de voisinages :

• \({\mathcal B}_a\) est une base de voisinages de \(a\)
• \({\mathcal B}_{f(a)}\) est une base de voisinages de \(a\)
• $$\forall V\in{\mathcal B}_{f(a)},\exists U\in{\mathcal B}_a,\qquad f(U)\subset V$$

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est continue en \(a\)

Continuité pour la topologie induite

Proposition :
Si \(f\) est continue sur \(A\subset E\), alors la restriction de \(f\) à \(A\) est continue pour la topologie induite
/!\\ on a \(\implies\), mais pas \(\iff\)
(Topologie induite)

Lien avec les ouverts

Lien entre la continuité et les ouverts :

• soit \((E,\tau_1),(F,\tau_2)\) deux espaces topologiques et \(f:E\to F\)
• \(\forall U\in\tau_2,\qquad f^{-1}(U)\in\tau_1\)

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est continue sur \(E\)

Exemple :
Si on prend la topologie discrète sur l'espace de départ, toutes les applications sont continues
Exemple :
Si on prend la topologie discrète sur l'espace d'arrivée, aucune application n'est continue
Exemple :
Si on prend la topologie grossière sur l'espace de départ, aucune application n'est continue
Exemple :
Si on prend la topologie grossière sur l'espace d'arrivée, toutes les applications sont continues

Lien avec la finesse

Corollaire :
Lien entre finesse et continuité :

• soient \(\tau_1,\tau_2\) deux topologies sur \(E\)
• $$\operatorname{Id}(E,\tau_1)\longrightarrow(E,\tau_2)\text{ est continue}$$

$$\Huge\iff$$

• \(\tau_1\) est plus fine que \(\tau_2\)

Lien avec les fermés

Proposition :
\(f\) est continue sur \(E\) si et seulement si l'image réciproque de tout fermé est un fermé
(Fermé)

Lien avec l'intérieur et l'adhérence

Les propositions suivantes sont équivalentes :$$\begin{align} &{{f\text{ est continue sur }E}}\\ \iff&{{\forall B\subset F,\qquad f^{-1}(\mathring B)\subset \mathring{(f^{-1}(B))} }}\\ \iff&{{\forall A\subset E,\qquad f(\overline A)\subset\overline{f(A)} }}\\ \iff&{{\forall B\subset F,\qquad \overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline B)}}\end{align}$$
(Intérieur, Adhérence)

Lien avec la séparation

Lien entre continuité et séparation :

• soient \(E,F\) des espaces topologiques
• \(F\) est séparé
• il existe \(f:E\to F\) continue et injective $$E\underset{\text{inj}}{\overset{\text{cont}}\longrightarrow}\text{séparé}$$

$$\Huge\iff$$

• \(E\) est séparé

(Séparation, Injection)

Image d'un ouvert ou d'un fermé

Lien entre continuité et ouverts et fermés :

• \(f\) préserve les ouverts
• \(f\) préserve les fermés

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est continue

(Ouvert, Fermé)